רדיאנים וערכים מיוחדיםחקירת פונקציות טריגונומטריות 571 · שיעור 1

חקירת פונקציות טריגונומטריות · שאלון 571

שיעור 1 – רדיאנים וערכים מיוחדים

פרק 1 – זהויות טריגונומטריות

1נוסח השאלה

2הסבר – מעלות ורדיאנים

3הסבר – ערכים מיוחדים

4הסבר – הסימנים ברביעים

5סעיף א – מעלות לרדיאנים

6סעיף ב – רדיאנים למעלות

7סעיף ג – רביע וסימן

8סעיף ד – מחשבון במצב רדיאנים

9סעיף ה – הצבה בפונקציה

📄 נוסח השאלה

א. המירו לרדיאנים: 60 מעלות , 135 מעלות.

ב. המירו למעלות: 5π6 , 3π2 .

ג. קבעו באיזה רביע נמצאת כל זווית, ומה הסימן של sin x ושל cos x : x = 2π3 , x = 5π4 , x = 2 .

ד. חשבו במחשבון (במצב רדיאנים) את sin 2 ואת cos 2 , בדיוק של 2 ספרות אחרי הנקודה. האם הסימנים מתאימים לסעיף ג?

📄 נוסח השאלה · המשך

ה. (הפונקציה מתוך בגרות 482, קיץ 2020 מועד א, שאלה 3) נתונה הפונקציה f(x) = cos x + 12cos(2x) בתחום 0 ≤ x ≤ 5π4 . חשבו בלי מחשבון את f(0) , f(π2) , f(π) .

הסבר – מעלות ורדיאנים

בחקירת פונקציות טריגונומטריות מודדים זוויות ברדיאנים, לא במעלות. חצי סיבוב (180 מעלות) הוא π רדיאנים:

π = 180

📐 מעלות ורדיאנים

מכאן סיבוב שלם:

2π = 360

ורבע סיבוב:

π2 = 90

📐 מעלות ורדיאנים

π = 180
(מעלות; π רדיאנים = 180 מעלות)

הסבר – מעלות ורדיאנים · המשך

π2 = 90

כדי להמיר מעלות לרדיאנים כופלים ב־π180 . למשל 30 מעלות:

30 · π180 = 30π180 = π6

📐 המרת מעלות ורדיאנים

כדאי לזכור: x = 2 (בלי π) הוא מספר רגיל של רדיאנים – בערך 115 מעלות.

✅ פתרון סופי: π = 180 מעלות

📐 המרת מעלות ורדיאנים

מעלות ← רדיאנים: כופלים ב־π180
רדיאנים ← מעלות: מציבים π = 180

הסבר – ערכים מיוחדים

את הערכים האלה משתמשים בהם כל הזמן בפתרון משוואות. כדאי לדעת אותם בעל פה:

מעלות	x	sin x	cos x	tan x
0	0	0	1	0
30	π6	12	√32	√33
45	π4	√22	√22	1
60	π3	√32	12	√3
90	π2	1	0	לא מוגדר
180	π	0	−1	0
270	3π2	−1	0	לא מוגדר
360	2π	0	1	0

את tan מקבלים מחלוקה: tan x = sin xcos x . כאשר cos x = 0 (ב־π2 וב־3π2) הטנגנס לא מוגדר.

✅ פתרון סופי: הטבלה – לדעת בעל פה

הסבר – הסימנים ברביעים

על מעגל היחידה, לכל זווית x יש נקודה (cos x , sin x) : ה־cos הוא שיעור ה־x של הנקודה וה־sin הוא שיעור ה־y . לכן הסימן תלוי ברביע:

הרביעים ברדיאנים:

📐 רביעים

מחשבון במצב רדיאנים: לפני כל חישוב עם רדיאנים בודקים שעל המסך מופיעה האות R . אם מופיעה D (מעלות), מעבירים: SHIFT MODE 4 (בחירת Rad ).

📐 רביעים

רביע 1: 0 < x < π2
רביע 2: π2 < x < π
רביע 3: π < x < 3π2
רביע 4: 3π2 < x < 2π

הסבר – הסימנים ברביעים · המשך

✅ פתרון סופי: ברביע 1 הכל חיובי. ברביע 2 רק הסינוס חיובי, ברביע 3 רק הטנגנס, וברביע 4 רק הקוסינוס.

סעיף א – מעלות לרדיאנים

כופלים ב־π180 ומצמצמים:

60 · π180 = 60π180 = π3

📐 המרת מעלות ורדיאנים

135 · π180 = 135π180 = 3π4

צמצמנו את השבר ב־45.

✅ פתרון סופי: 60 מעלות הן π3 , ו־135 מעלות הן 3π4

📐 המרת מעלות ורדיאנים

מעלות ← רדיאנים: כופלים ב־π180
רדיאנים ← מעלות: מציבים π = 180

סעיף ב – רדיאנים למעלות

כותבים את הזווית, ומסמנים את π שנחליף:

5π6

נציב π = 180 :

5 · 1806 = 9006 = 150

📐 המרת מעלות ורדיאנים

באותה דרך:

3π2

📐 המרת מעלות ורדיאנים

מעלות ← רדיאנים: כופלים ב־π180
רדיאנים ← מעלות: מציבים π = 180

סעיף ב – רדיאנים למעלות · המשך

3π2

נציב π = 180 :

3 · 1802 = 5402 = 270

✅ פתרון סופי: הזווית 5π6 היא 150 מעלות, והזווית 3π2 היא 270 מעלות

סעיף ג – רביע וסימן

x = 2π3 : הזווית גדולה מ־π2 וקטנה מ־π :

π2 < 2π3 < π

📐 רביעים

רביע 2: הסינוס חיובי והקוסינוס שלילי.

x = 5π4 : הזווית בין π ל־3π2 :

π < 5π4 < 3π2

רביע 3: הסינוס שלילי וגם הקוסינוס שלילי.

📐 רביעים

רביע 1: 0 < x < π2
רביע 2: π2 < x < π
רביע 3: π < x < 3π2
רביע 4: 3π2 < x < 2π

סעיף ג – רביע וסימן · המשך

רביע 3: הסינוס שלילי וגם הקוסינוס שלילי.

x = 2 : משווים למספרים π2 ≈ 1.57 ו־π ≈ 3.14 :

1.57 < 2 < 3.14

רביע 2: sin 2 חיובי ו־cos 2 שלילי.

✅ פתרון סופי: הזוויות 2π3 ו־2 ברביע 2 (סינוס חיובי, קוסינוס שלילי). הזווית 5π4 ברביע 3 (סינוס וקוסינוס שליליים).

סעיף ד – מחשבון במצב רדיאנים

בודקים שעל המסך R , ומקישים:

sin 2 = נותן 0.909… , ומעגלים:

sin 2 ≈ 0.91

cos 2 = נותן −0.416… , ומעגלים:

cos 2 ≈ −0.42

הסינוס חיובי והקוסינוס שלילי – בדיוק כמו ברביע 2, כפי שמצאנו בסעיף ג ✓

סעיף ד – מחשבון במצב רדיאנים · המשך

הסינוס חיובי והקוסינוס שלילי – בדיוק כמו ברביע 2, כפי שמצאנו בסעיף ג ✓

✅ פתרון סופי: sin 2 ≈ 0.91 וגם cos 2 ≈ −0.42 – מתאים לרביע 2

סעיף ה – הצבה בפונקציה

כותבים את הפונקציה ומסמנים את x שנחליף:

f(x) = cos x + 12cos(2x)

נציב x = 0 :

f(0) = cos 0 + 12cos(2 · 0)

cos 0 = 1

📐 ערכים מיוחדים

f(0) = 1 + 12 · 1 = 32

📐 ערכים מיוחדים

מהטבלה בהסבר למעלה

סעיף ה – הצבה בפונקציה · המשך

f(0) = 1 + 12 · 1 = 32

נציב x = π2 :

f(π2) = cos π2 + 12cos(2 · π2)

בתוך הסוגריים: 2 · π2 = π :

cos π2 = 0 , cos π = −1

📐 ערכים מיוחדים

f(π2) = 0 + 12 · (−1) = −12

📐 ערכים מיוחדים

מהטבלה בהסבר למעלה

סעיף ה – הצבה בפונקציה · המשך

f(π2) = 0 + 12 · (−1) = −12

נציב x = π :

f(π) = cos π + 12cos(2 · π)

cos π = −1 , cos 2π = 1

📐 ערכים מיוחדים

f(π) = −1 + 12 · 1 = −12

✅ פתרון סופי: f(0) = 32 וגם f(π2) = −12 וגם f(π) = −12

📐 ערכים מיוחדים

מהטבלה בהסבר למעלה

📌 סיכום התשובות

סעיף א

π3 ו־3π4

סעיף ב

150 , 270 מעלות

סעיף ג

רביע 2 , רביע 3 , רביע 2

סעיף ד

sin 2 ≈ 0.91 ו־cos 2 ≈ −0.42

סעיף ה

f(0) = 32 ו־f(π2) = f(π) = −12

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא